TIR

Breve Explicação

A formulação geral de equivalência de fluxos de caixa em diferentes momentos do tempo é dada pela expressão:

onde representa o fluxo de caixa do momento e a taxa de juro (actualização).

Genericamente o cálculo da T.I.R. implicará resolver a seguinte equação:

de grau e número de raízes igual ao número de períodos considerados.

Pelo teorema de Descartes sabe-se que:

"O número de raízes positivas da equação

não ultrapassa o número de variações na sequência dos sinais dos coeficientes, e se for inferior diferirá de um número par." [cit. por Faro, 1979, pag.61].

Em geral, só terão significado económico e financeiro taxas positivas. Ora, como raízes positivas daquela equação implicam a existência de taxas superiores a - 100% ( como ), para saber qual o número máximo de taxas positivas, será necessário formular a equação em ordem a .

Por outro lado, foram estabelecidas condições suficientes para a existência de uma única TIR positiva que, seguindo a apresentação dessas condições feita por Faro [idem, pags. 118-140], são:

-Condições de Soper:

Para , se:

, e

então , será única.

-Condições de Norstrom:

Considerando:

se houver exactamente uma variação de sinal na sequência de fluxos acumulados e se o produto for negativo, então existirá uma única TIR positiva.

-Condições de Faro:

Sendo o máximo de

se:

, e

então existirá uma única TIR positiva.

Tendo em vista determinar a verificação (ou não) destas condições relativamente a uma série de fluxos de caixa, bem como a sua reformulação em ordem à TIR, foi elaborado um programa base originalmente escrito na linguagem "Basic". Esse programa, objecto de algumas revisões, modificações, acrescentos e em versão "php/html", é aqui disponibilizado para utilização na "web".
Na sua concepção recorreu-se ao algoritmo de multiplicação de polinómios proposto por PINTACUDA [1986, pag.57] e ao método de Newton de cálculo de raízes de polinómios proposto por BORCHERS, COOK & POOLE [1983, pags. 97-99].

Exemplos

Os exemplos abaixo indicados incluem casos de verificação de cada uma das condições suficientes apresentadas, bem como casos de TIRs positivas (com multiplicidade igual a 1 ou superior):

Exemplos	Fluxos	Número de raízes positivas	Condições de Soper	Condições de Norstrom	Condições de Faro	Número de TIRs positivas
1	-2; 1; 4; -4; 16 Faro(1979)	3	SIM	NÃO	NÃO	1 (100%)
2	-9; 7; 7; -3 Faro(1979)	2	NÃO	SIM	SIM	1 (19,52%)
3	-1; 3; -1; 4 Faro(1979)	3	SIM	SIM	NÃO	1 (209,45%)
4	-8; 3; 3; 3; -2; 3; -1 Faro(1979)	4	NÃO	NÃO	SIM	1 (5,82%)
5	-400; 880; -483 Faro(1979)	2	NÃO	NÃO	NÃO	2 (5% e 15%)
6	-8; 6; 20; -8; 16	3	SIM	SIM	NÃO	1 (100%)
7	-1; 6; -13; 14; -12; 8	5	NÃO	NÃO	NÃO	3 (iguais a 100%)
8	-2; 6; -5; 2	3	NÃO	NÃO	NÃO	1 (100%)
9	-20; 89; -128; 60 Faro(1979: pág.140)	3	NÃO	NÃO	NÃO	3 (20%, 25% e 100%)
10	-1; 6; -12; 8 Faro(1979)	3	NÃO	NÃO	NÃO	3 (iguais a 100%)
11	-2; 6; -5; 8	3	NÃO	NÃO	NÃO	1 162,79%
12	-4000; 16400; -22320; 10080 White(2009)	3	NÃO	NÃO	NÃO	3 (20%, 40% e 50%)
13	-1600; 10000; -10000 Barbieri(2007)	2	NÃO	NÃO	NÃO	2 (25% e 400%)
14	-1000; 2400; -1430 Barbieri(2007)	2	NÃO	NÃO	NÃO	2 (10% e 30%)
15	-1; 6; -11; 6 Hazen(2003)	3	NÃO	NÃO	NÃO	2 (100% e 200%) e também 0%
16	-4; 3; 2,25; 1,5; 0,75;0; -0,75; -1,25; -2,25 Hazen(2003)	2	NÃO	NÃO	NÃO	2 (7,39% e 28,27%)
17	-4; 12; -9 Magni(2010)	2	NÃO	NÃO	NÃO	2 (iguais a 50%)
18	-100; 330; -362; 132 Jaradat(2011)	3	NÃO	NÃO	NÃO	2 (10% e 20%) e também 0%

Referências:

BARBIERI,J. C,; ÁLVARES, A. C. T.; MACHLINE, C. (2007) - "Taxa Interna de Retorno: controvérsias e interpretações", GEPROS. Gestão da Produção, Operações e Sistemas - Ano 2, Vol. 5 out-dez/07, p. 131-142

BORCHERS, Mary; COOK, Steven; POOLE, Lon (1983) - Algunos Programas de Uso Comun en Basic - edicion para Atari, Osborne/MacGraw-Hill

CHEN, Jeng-Hong (2008) - "Finding Multiple Internal Rates Of Return For A Project With Non-Conventional Cash Flows: Utilizing Popular Financial/Graphing Calculators And Spreadsheet Software", College Teaching Methods & Styles Journal, Volume 4, Number 9, pages 31-41, 2008

FARO, Clovis de (1979) - Elementos de Engenharia Económica, Editora Atlas,São Paulo, 3a. ed. rev. e ampl.

HAZEN, Gordon B. (2003) - "A New Perspective on Multiple Internal Rates of Return", The Engineering Economist, volume 48, number 1, pages 31-51, 2003

JARADAT, Ahmad e TAHBOUBB Khaldoun K. Tahboubb (2011) - "Decision Making Using Multiple Rates of Return: An Alternative Approach", Jordan Journal of Mechanical and Industrial Engineering, Volume 5, Number 2, pages 193 - 196, 2011

MAGNI, Carlo Alberto (2010) - "Average Internal Rate of Return and investment decisions: A new perspective", The Engineering Economist, volume 55, number 2, pages 150-180, 2010

PINTACUDA, Nicolò (1986) - Algoritmi Elementari - Le Procedure di Base della Programmazione, Franco Muzzio & C. Editore, Algoritmos Elementares - Procedimentos Básicos da Programação, trad. port. Editorial Presença, Lisboa, 1988

WHITE, John A.; CASE, Kenneth E. Case; PRATT, David B. (2009) Principles of Engineering Economic Analysis, Wiley, 5th Edition

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